Примеры решения

Как мы работаем

б) $\int {{x^2}\ln x\,dx}$

Решение

Применим метод интегрирования по частям, для чего воспользуемся формулой: $\int {{x^2}\ln x\,dx = \int {udv = uv - } \int {vdu} }$

Положим u = lnх, dv = х2 dx Тогда du = $\frac{{dx}}{x}$ , v = $\int {{x^2}} dx = \frac{{{x^3}}}{3}$ Получим $\int {{x^2}\ln x\,dx = }$ $\frac{{{x^3}\ln x}}{3} - \frac{1}{3}\int {\frac{{{x^3}}}{x}} dx = \frac{{{x^3}\ln x}}{3} - \frac{1}{3}\int {{x^2}} dx = \frac{{{x^3}\ln x}}{3} - \frac{{{x^3}}}{9} + C =$ $= \frac{{{x^3}(3\ln x - 1)}}{9} + C = \frac{{{x^3}(\ln {x^3} - 1)}}{9} + C,$ где С - произвольная постоянная. Ответ: $\frac{{{x^3}(\ln {x^3} - 1)}}{9} + C$

103. Зависимость пройденного телом пути от времени дается уравнением S=At-Bt^2+Ct^3, где А = 3 м/с, B = 2 м/с2 и С = 4 м/с3. Найти: 1) зависимость скорости и ускорения от времени t; 2) расстояние, пройденное телом, скорость и ускорение тела через 2 с после начала движения.

Зависимость скорости от времени найдем по формуле $V(t) = \frac{{dS}}{{dt}}$ $V(t) = \frac{{d\left( {At - B{t^2} + C{t^3}} \right)}}{{dt}} = A - 2Bt + 3C{t^2}$ $V(t) = 3 - 4t + 12{t^2}$ Путь, пройденный телом за первые две секунды $S = 3 \cdot 2 - 2 \cdot {2^2} + 4 \cdot {2^3} = 30$ м Скорость в момент времени t=2с $V = 3 - 4 \cdot 2 + 12 \cdot {2^2} = 43$ м/с Зависимость ускорения от времени найдем по формуле $a(t) = \frac{{dV}}{{dt}} = \frac{{d\left( {3 - 4t + 12{t^2}} \right)}}{{dt}} = - 4 + 24t$ $a = - 4 + 24 \cdot 2 = 44$ м/с2 Ответ: $V(t) = 3 - 4t + 12{t^2}$ $S = 30$ м $V = 43$ м/с $a = 44$ м/с2

На сборку поступают детали с трех конвейеров. Первый дает 25%, второй – 30% и третий – 45% деталей, поступающих на сборку. С первого конвейера в среднем поступает 2% брака, со второго – 3%, с третьего – 1%. Найти вероятность того, что: а) на сборку поступила бракованная деталь; б) поступившая на сборку бракованная деталь – со второго конвейера.

Решение.

Обозначим А- событие, состоящее в том, что на сборку поступила бракованная деталь. Можно выдвинуть три гипотезы: .. деталь поступила с i-го конвейера Вероятности гипотез:

$\begin{array}{l} P({H_1}) = 0.25\\ P({H_2}) = 0.30\\ P({H_3}) = 0.45 \end{array}$

Условная вероятность брака для первого конвейера $P(A/H_1^{}) = 0.02$ Для второго конвейера $P(A/H_2^{}) = 0.03$ Для третьего конвейера $P(A/H_3^{}) = 0.01$

Вероятность события А найдем по формуле полной вероятности $\begin{array}{l} P(A) = P({H_1}) \cdot P(A/{H_1}) + P({H_2}) \cdot P(A/{H_2}) + P({H_3}) \cdot P(A/{H_3}) = \\ = 0.25 \cdot 0.02 + 0.30 \cdot 0.03 + 0.45 \cdot 0.01 = 0.0185 \end{array}$

Вероятность того, что бракованная деталь поступила со второго конвейера найдем по формуле Байеса $P({H_2}/A) = \frac{{P({H_2}) \cdot P(A/{H_2})}}{{P(A)}} = \frac{{0.25 \cdot 0.03}}{{0.0185}} = 0.4054$

При 20%-ной разработке (по способу случайной бесповоротной выборки) данных текущего учета населения города удельный вес жителей в возрасте свыше 60 лет составил 8%, удельный вес населения в возрасте до 16 лет – 14%, удельный вес рабочих (без членов их семей) – 18%. Определите с вероятностью 0,954: а) предельную ошибку выборки удельного веса каждой из групп жителей; б) пределы (доверительный интервал), в которых будет находиться доля каждой из указанных групп жителей; в) какова должна быть доля выборки (объем выборки), чтобы предельная ошибка в оценке доли по указанным группам жителей была не более 0,20 %. Общая численность населения города составляет 300 тыс. человек.

Решение.

Предельная ошибка выборки ${\Delta _w} = t\sqrt {\frac{{w(1 - w)}}{n}(1 - \frac{n}{N})}$

Для доверительной вероятности 0,954 параметр t=2.0 Для группы жителей в возрасте свыше 60 лет ${\Delta _w} = 2\sqrt {\frac{{0.08(1 - 0.08)}}{{0.2 \cdot 300000}}(1 - 0.2)} = 0.0020$

Доверительный интервал для генерального среднего $w - {\Delta _w} < p < w + {\Delta _w}$

$0.08 - 0.002 < p < 0.08 + 0.002$

$0.078 < p < 0.082$

Необходимый объем выборки $n = \frac{{{t^2}w\left( {1 - w} \right)N}}{{{\Delta ^2}N + {t^2}w\left( {1 - w} \right)}}$

$n = \frac{{{2^2} \cdot 0.08 \cdot \left( {1 - 0.08} \right) \cdot 300000}}{{{{0.002}^2} \cdot 300000 + {2^2} \cdot 0.08\left( {1 - 0.08} \right)}} = 59100.6 = 59101$ человек

Для группы жителей в возрасте до 16 лет ${\Delta _w} = 2\sqrt {\frac{{0.14(1 - 0.14)}}{{0.2 \cdot 300000}}(1 - 0.2)} = 0.0025$

Доверительный интервал для генерального среднего $w - {\Delta _w} < p < w + {\Delta _w}$

$0.14 - 0.0025 < p < 0.14 + 0.0025$

$0.1375 < p < 0.1425$

Необходимый объем выборки $n = \frac{{{t^2}w\left( {1 - w} \right)N}}{{{\Delta ^2}N + {t^2}w\left( {1 - w} \right)}}$

$n = \frac{{{2^2} \cdot 0.14 \cdot \left( {1 - 0.14} \right) \cdot 300000}}{{{{0.002}^2} \cdot 300000 + {2^2} \cdot 0.14\left( {1 - 0.14} \right)}} = 85918.2 = 85919$ человек

Для группы удельный вес рабочих (без членов их семей) ${\Delta _w} = 2\sqrt {\frac{{0.18(1 - 0.18)}}{{0.2 \cdot 300000}}(1 - 0.2)} = 0.0028$

Доверительный интервал для генерального среднего $w - {\Delta _w} < p < w + {\Delta _w}$

$0.18 - 0.0028 < p < 0.18 + 0.0028$

$0.1772 < p < 0.1828$

Необходимый объем выборки $n = \frac{{{t^2}w\left( {1 - w} \right)N}}{{{\Delta ^2}N + {t^2}w\left( {1 - w} \right)}}$

$n = \frac{{{2^2} \cdot 0.18 \cdot \left( {1 - 0.18} \right) \cdot 300000}}{{{{0.002}^2} \cdot 300000 + {2^2} \cdot 0.18\left( {1 - 0.18} \right)}} = 98927.6 = 98928$ человек